1、先考虑由条件a^2=b(b+c)来推出A=2B:

条件化为a^2-b^2=bc，有cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(c^2-bc)/2bc=(c-b)/2b，

cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=(c^2+bc)/2ac=(c+b)/2a,

则cos2B=2(cosB)^2-1=2*(c+b)^2/4a^2-1=(c+b)^2/2a^2-1，把a^2=b(b+c)代入上式得：

cos2B=(c+b)/2b-1=(c-b)/2b=cosA，A、B同为一个三角形的内角，有A=2B

2、反过来，也容易证明。若A=2B,由正弦定理：

sinA=asinB/b=sin2B=2sinBcosB，有cosB=a/2b结合余弦定理，则

cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=a/2b，化简即得：a^2=b(b+c)。

因而，两者关系为“充要关系”，答案选A。