1、已知圆：x^2+y^2=4，点B（1，1）为圆内一点，P、Q为圆上动点，且∠PQB=90°，求PQ中点的轨迹方程。

是PQ中点？——应该是蛮复杂的方程，估计用韦达定理比较复杂。

解答：

∠PQB=90°，PQ⊥QB

设Q点坐标为(m，n)，PQ中点坐标为(x，y)，则：

m^2+n^2=4

P点坐标为：(2x-m，2y-n)

BQ直线的斜率k=(n-1)/(m-1)

PQ直线方程为：y=-(x-m)/k+n=(1-m)(x-m)/(n-1)+n

化简得：(n-1)y=(1-m)x+(m-n)+4 [化简中用了：m^2+n^2=4，下同]

P在圆上，P在PQ直线上，P点坐标代入得：

①：(2x-m)^2+(2y-n)^2=4

②：(n-1)(2y-n)=(1-m)(2x-m)+(m-n)+m^2+n^2

化简：

①：4x^2-4mx+4y^2-4ny=0

②：2yn-2y=2x-2mx-2n+8

①：(mx+ny)=2x^2+2y^2

②：(mx+ny)=x+y-n+4

相减得：

n= x+y+4-2x^2-2y^2

代入①得：

4x^2-4mx+4y^2-4{xy+y^2+4y-2y(x^2+y^2)}=0

解得：

m=(x^2-xy-4y+2yx^2+2y^3)/x

代入m^2+n^2=4得：

(x+y+4-2x^2-2y^2)^2+(x^2-xy-4y+2yx^2+2y^3)^2/x^2=4

(x+y+4-2x^2-2y^2)^2*x^2+(x^2-xy-4y+2yx^2+2y^3)^2=4x^2

(y^2+x^2-2)(2y4+4x^2y^2-2xy^2-4y^2+2x^4-2x^3-3x^2)=0

即为PQ中点轨迹方程。

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2、在直角坐标系XOY中，以O为圆心的圆与直线：x-(√3)y=4相切。圆O与X轴交于A，B两点，圆内动点P，使 |PA| ,|PO|,|PB|成G.P数列 ，求向量PA,向量PB的范围。

解答：

直线：x-(√3)y=4斜率为=1/√3，过O做直线的垂线为：y=-√3x

联立2直线方程解得，圆与直线的切点K：(1，-√3)

则：OK^2=4；圆O方程为：x^2+y^2=4

y=0代入得，圆O与x轴的交点为：A(-2，0)、B(2，0)

记P点坐标为：(x，y)

P在圆O内，则满足：x^2+x^2<4……①

|PA| 、|PO|、|PB|成G.P数列，满足：PA*PB=PO^2

PO^2=x^2+y^2

PA^2=(x+2)^2+y^2；

PB^2=(x-2)^2+y^2；

所以有：

(x^2+y^2)^2=((x+2)^2+y^2)( (x-2)^2+y^2)

化简得：

x^2-y^2=2

代入①式得：

2≤x^2<3；0≤y^2<1；

即：P点在抛物线x^2-y^2=2上，且2≤x^2<3

向量PA为：(x+2,y)

向量PB为：(x-2,y)

f(x)=PA^2=(x+2)^2+y^2=2x^2+4x+2 [对称轴=-1]

g(x)=PB^2=(x-2)^2+y^2=2x^2-4x+2 [对称轴=1]

2≤x^2<3，则：

f(-√2)≤f(x)<f(√3)

g(√2)≤g(x)<g(-√3)

代入求得：

(2-√2)^2≤f(x)< 8+4√3

(2-√2)^2≤g(x)< 8+4√3

即|PA|、|PB|的范围都在：[2-√2，√(8+4√3) )之间。

一般情况下，高考一般考试时间为两天，高考数学答案一般会在高考完的半个月进行公布。?

2023高考试卷答案一般会在高考完的半个月进行公布，具体的以实时公布时间为准。非官方机构会及时公布各科目的高考答案，但不一定准确，建议考生耐心等待，不要过分焦虑。

等高考的所有科目全部考完后考完的半个月进行公布高考各科的原卷和答案，这样可以方便让刚刚参加完高考的考生进行估分。一般是各省的教育考试院在相应的网站上以文件或者的形式公布高考原卷。

2023年高考全国各省高考试卷一览：

一、全国甲卷：3+文科综合/理科综合

使用地区：云南、四川、广西、贵州、西藏(5省区)

试卷科目：语文、数学、外语、文综、理综

二、全国乙卷：3+文科综合/理科综合

使用地区：山西、安徽、吉林、黑龙江;内蒙古、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆、江西、河南(12省区)

试卷科目：语文、数学、外语、文综、理综

三、新高考全国Ⅰ卷：3+1+2/3+3

使用地区：山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江(8省)

试卷科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理、信息技术等。

四、新高考全国Ⅱ卷：3+1+2/3+3

使用地区：辽宁、重庆、海南(3省市)

试卷科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。

五、自主命题：天津卷、上海卷、北京卷(3+3)

使用地区：天津、上海、北京(3市)

试卷科目：语文、数学、外语、物理、化学、生物、政治、历史、地理等。