003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数 学（理工农医类）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式

其中 、 分别表示

上、下底面周长， 表示斜高或母线长.

球体的体积公式： ，其中R

表示球的半径.

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

1．已知 ，0）， ，则 （ ）

（A） （B） （C） （D）

2．圆锥曲线 的准线方程是 （ ）

（A） （B） （C） （D）

3．设函数 ，若 ，则 的取值范围是 （ ）

（A）（ ，1） （B）（ ， ）

（C）（ ， ） （0， ） （D）（ ， ） （1， ）

4．函数 的最大值为 （ ）

（A） （B） （C） （D）2

5．已知圆C： （ ）及直线 ： ，当直线 被C截得的弦长为 时，则 （ ）

（A） （B） （C） （D）

6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

（A） （B） （C） （D）

7．已知方程 的四个根组成一个首项为 的的等差数列，则 （ ）

（A）1 （B） （C） （D）

8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0），直线 与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是 （ ）

（A） （B） （C） （D）

9．函数 ， 的反函数 （ ）

（A） ，1] （B） ，1]

（C） ，1] （D） ，1]

10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点 沿与AB的夹角 的方向射到BC上的点 后，依次反射到CD、DA和AB上的点 、 和 （入射角等于反射角），设 的坐标为（ ，0），若 ，则tg 的取值范围是 （ ）

（A）（ ，1） （B）（ ， ） （C）（ ， ） （D）（ ， ）

11． （ ）

（A）3 （B） （C） （D）6

12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）

（A） （B） （C） （D）

2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

数 学（理工农医类）

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在题中横线上

13． 的展开式中 系数是

14．使 成立的 的取值范围是

15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种 （以数字作答）

16．下列5个正方体图形中， 是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出 面MNP的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号）

① ② ③ ④ ⑤

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤

17．（本小题满分12分）

已知复数 的辐角为 ，且 是 和 的等比中项，求

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 ，D、E分别是 与 的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

（I） 求 与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

（II） 求点 到平面AED的距离

19．（本小题满分12分） 已知 ，设

P：函数 在R上单调递减 Q：不等式 的解集为R

如果P和Q有且仅有一个正确，求 的取值范围

20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南 ）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？

21．（本小题满分14分）

已知常数 ，在矩形ABCD中， ， ，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 ，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由

22．（本小题满分12分，附加题4 分）

（I）设 是集合 且 }中所有的数从小到大排列成的数列，即 ， ， ， ， ， ，…

将数列 各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3

5 6

9 10 12

— — — —

…………

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求

（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）

设 是集合 ，且 中所有的数从小到大排列成的数列，已知 ，求 .

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数学（理工农医类）答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分.

1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.

13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17． 解：设 ，则复数 由题设

18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

（Ⅱ）解：

19．解：函数 在R上单调递减

不等式

（以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法）

20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：（1）台风中心P（ ）的坐标为

此时台风侵袭的区域是

其中 若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）

直线OF的方程为： ①

直线GE的方程为： ②

从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程

整理得 当 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

当 时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长

当 时，点P到椭圆两个焦点（ 的距离之和为定值

当 时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2 .

22．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）解：用(t,s)表示 ，下表的规律为

3（(0,1)= ）

5(0,2) 6(1,2)

9(0,3) 10(1,3) 12(2,3)

— — — —

…………

（i）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4)

第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5)

（i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以 (8,14)＝ ＝16640

解法二：设 ，只须确定正整数

数列 中小于 的项构成的子集为

其元素个数为

满足等式的最大整数 为14，所以取

因为100－

（Ⅱ）解：

令

因

现在求M的元素个数：

其元素个数为 ：

某元素个数为

某元素个数为

另法：规定 （r,t,s）， ＝（3,7,10）

则 ＝ （0,1,2）

依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3）

（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4）

…………

（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9）

（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… +4