高考数学模拟试题及答案：数列

1．(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记数列an(1的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<1 000(1成立的n的最小值。

解　(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)。

从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1。

又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，

即a1＋a3＝2(a2＋1)。

所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2。

所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列。

故an＝2n。

(2)由(1)得an(1＝2n(1。

所以Tn＝2(1＋22(1＋…＋2n(1＝2(1＝1－2n(1。

由|Tn－1|<1 000(1，得－1(1<1 000(1，

即2n>1 000。

因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10。

于是，使|Tn－1|<1 000(1成立的n的最小值为10。

2．(2015·山东卷)设数列{an}的前n项和为Sn。已知2Sn＝3n＋3。

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn。

解　(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，

当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3，

此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，

又因为n＝1时，不满足上式，所以an＝3n－1，n>1。(3，n＝1，

(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝3(1，

当n>1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n。

所以T1＝b1＝3(1；

当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝3(1＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，

所以3Tn＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)，

两式相减，得2Tn＝3(2＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝3(2＋1－3－1(1－31－n－(n－1)×31－n＝6(13－2×3n(6n＋3，所以Tn＝12(13－4×3n(6n＋3。经检验，n＝1时也适合。

综上可得Tn＝12(13－4×3n(6n＋3。

3.(2015·天津卷)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列。

(1)求q的值和{an}的通项公式；

(2)设bn＝a2n－1(log2a2n，n∈N*，求数列{bn}的前n项和。

解　(1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，

所以a2(q－1)＝a3(q－1)。又因为q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1·q，得q＝2。

当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝22(n－1；

当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝22(n。

所以，{an}的通项公式为an＝，n为偶数。(n

(2)由(1)得bn＝a2n－1(log2a2n＝2n－1(n。设{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×20(1＋2×21(1＋3×22(1＋…＋(n－1)×2n－2(1＋n×2n－1(1，

2(1Sn＝1×21(1＋2×22(1＋3×23(1＋…＋(n－1)×2n－1(1＋n×2n(1，

上述两式相减，得2(1Sn＝1＋2(1＋22(1＋…＋2n－1(1－2n(n＝2(1－2n(n＝2－2n(2－2n(n，

整理得，Sn＝4－2n－1(n＋2。

所以，数列{bn}的前n项和为4－2n－1(n＋2，n∈N*。

4．(2015·合肥质检)已知函数f(x)＝x＋x(1(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图像的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图像及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|。

(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式；

(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn<1。

解　(1)对f(x)＝x＋x(1(x>0)求导，得f′(x)＝1－x2(1，

则切线ln的方程为y－n(1＝n2(1(x－n)，

即y＝n2(1x＋n(2。

易知Ann＋1(1，Bnn2(n－1，

由an＝|AnBn|知an＝n2(n－1＝n2(n＋1)(1。

(2)证明：∵nan＝n(n＋1)(1＝n(1－n＋1(1，

∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝1－2(1＋2(1－3(1＋…＋n(1－n＋1(1＝1－n＋1(1<1。

5．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝(－1)n－1anan＋1(4n，求数列{bn}的前n项和Tn。

解　(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2(2×1×2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋2(4×3×2＝4a1＋12，

由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，

解得a1＝1，所以an＝2n－1。

(2)bn＝(－1)n－1anan＋1(4n＝(－1)n－1(2n－1)(2n＋1)(4n

＝(－1)n－12n＋1(1。

当n为偶数时，

Tn＝3(1－5(1＋…＋2n－3(1＋2n－1(1－2n＋1(1＝1－2n＋1(1＝2n＋1(2n。

当n为奇数时，

Tn＝3(1－5(1＋…－2n－3(1＋2n－1(1＋2n＋1(1＝1＋2n＋1(1＝2n＋1(2n＋2。

所以Tn＝，n为偶数。(2n或Tn＝2n＋1(2n＋1＋(－1)n－1

6．(2015·杭州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝1－4an(1，其中n∈N*。

(1)设bn＝2an－1(2，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；

(2)设cn＝n＋1(4an，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<cmcm＋1(1对于n∈n*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由。

解　(1)∵bn＋1－bn＝2an＋1－1(2－2an－1(2

＝－1(1－2an－1(2

＝2an－1(4an－2an－1(2＝2(常数)，

∴数列{bn}是等差数列。

∵a1＝1，∴b1＝2，

因此bn＝2＋(n－1)×2＝2n，

由bn＝2an－1(2得an＝2n(n＋1。

(2)由cn＝n＋1(4an，an＝2n(n＋1得cn＝n(2，

∴cncn＋2＝n(n＋2)(4＝2n＋2(1，

∴Tn＝21－3(1＋2(1－4(1＋3(1－5(1＋…＋n(1－n＋2(1

＝2n＋2(1<3，

依题意要使Tn<cmcm＋1(1对于n∈n*恒成立，只需cmcm＋1(1≥3，

即4(m(m＋1)≥3，

解得m≥3或m≤－4，又m为正整数，所以m的最小值为3。</cmcm＋1(1对于n∈n*恒成立，只需cmcm＋1(1≥3，

</cmcm＋1(1对于n∈n*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由。

f'(x)=2ax+(2-a)-1/x

=(2ax^2+(2-a)x-1)/x

=(2x-1)(ax+1)/x

a>1

令f'(x)>=0

x<=-1/a或x>=1/2

定义域是x>0

∴x>=1/2

增区间是[1/2,+∞),减区间是(0,1/2]

当1/a>=1/2时

f(x)在区间[1/a,1]内的最大值

=f(1)

=a+2-a-0

=2不是ln3

∴1/a<1/2

a>2

f(x)在区间[1/a,1]内的最大值

=f(1/a)

=a*1/a^2+(2-a)/a-ln(1/a)

=1/a+2/a-1+lna

=3/a-1+lna

=ln3

∴a=3符合a>2

综上a=3

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